La IA en la Olimpiada Matemática

Los profesores y alumnos de un instituto son entre todos 2025 personas (obviamente con más alumnos que profesores). En una excursión han de atravesar un río, para lo que disponen de una sola barca. La barca no puede llevar a la vez más de 100 kilos. Cada alumno pesa 50 kilos y cada profesor 100 (la sabiduría es muy pesada). Se necesitan como mínimo 4235 viajes para que pasen todos. (Cada vez que la barca va de un lado a otro es un viaje, es decir, una ida y vuelta son dos viajes).

a) Explica cómo deben de hacer para cruzar en el menor número de viajes.

b) Halla el número de profesores y el de alumnos.

Nota: No valen trampas del tipo “empujar a la barca para que cruce sola”.

En un cuadrado hemos señalado un punto y lo hemos unido con los puntos medios de los lados del cuadrado. Halla el área de la región sombreada.

El rectángulo ABCD de la figura está dividido en 3 regiones iguales. Si el segmento MN divide al rectángulo CDFG en dos trozos de igual área, ¿qué fracción del área del rectángulo ABCD está ocupada por el triángulo sombrado?

Antes de realizar el último examen del curso, Cal-Culín pensó que si sacaba en dicho examen un 1,7 la nota media de todos los exámenes del curso sería de un 8, pero si sacaba un 9,2, la media sería de 8,5.

¿Cuántos exámenes hizo en este caso?

a) Para cruzar en el menor número de viajes hay que seguir los pasos:

1. Llevar a todos los adultos. Para ello, deberán cruzar 2 alumnos primero. De esos dos, uno devolverá la barca al inicio y cruzará un profesor. Traerá la barca al inicio el alumno que queda en el otro extremo. Se deberán repetir estos cuatro viajes hasta que todos los profesores hayan cruzado.

2. Llevar a todos los alumnos. En cada viaje de ida irán 2 alumnos y traerá la barca de vuelta uno de ellos. Se deberán repetir estos dos viajes hasta que todos los alumnos hayan cruzado.

b) Para hallar el número de profesores y alumnos, volvemos a los pasos:

1. Para llevar a cada profesor son necesarios 4 viajes. Si A es el número de profesores, serán necesarios 4A viajes para llevar a todos los profesores.

2. Para llevar a cada alumno son necesarios 2 viajes. Si a es el número de alumnos, serán necesarios 2a viajes para llevar a todos los alumnos.

Es importante aclarar que no será necesario traer la barca de vuelta en el último viaje de los alumnos, por tanto, se restará 1 al número de viajes total.

De esta forma se plantea la ecuación: $4A + 2a - 1 = 4235$ , siendo 4235 el número total de viajes realizados.

De la ecuación $A + a = 2025$ (condición del problema) se obtiene que $a = 2025 - A$ , luego: $4A + 2(2025 - A) - 1 = 4235$

$4A + 4050 - 2A - 1 = 4235$

$2A = 4235 - 4049 = 186$

$A = 93$ profesores.

De esta forma, el número de alumnos será: $a = 2025 - A = 2025 - 93 = 1932$ alumnos.

SOLUCIÓN: Hay 93 profesores y 1932 alumnos.

Solución de Julio Vivas.

Cada región puede dividirse en dos triángulos uniendo el vértice que comparten con el cuadrado (A, B, C o D) con el punto señalado P, originándose ocho triángulos.

Los triángulos adyacentes que comparten lado del cuadrado tienen dos características comunes: misma base (1/2 del lado del cuadrado) y misma altura (perpendicular al lado y hasta el punto señalado P).

De acuerdo con estas características, los triángulos, dos a dos, tienen la misma área. Esto se deduce de su fórmula: $A = \frac{1}{2}bh$ y de lo enunciado anteriormente: misma base ( $b$ ) y misma altura ( $h$ ).

De esto se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} a + b = 18 \quad \Rightarrow \quad b = 18 - a \\ b + c = 9 \quad \Rightarrow \quad c = 9 - b = 9 - 18 + a = a - 9 \\ c + d = 7 \quad \Rightarrow \quad d = 7 - c = 7 - a + 9 = 16 - a \\ d + a = x \quad \Rightarrow \quad x = 16 - a + a = 16 \end{cases}$

Resolviendo el sistema para x obtenemos el área de la región sombreada.

SOLUCIÓN: El área sombreada es de 16 cm².

Solución de Darío Otero.

Se definen los puntos O y P como los puntos medios de FD y MN respectivamente. El punto Q será la intersección de AN con EH.

El triángulo AOP tiene dos catetos: $AO = \frac{5}{6}AD$ y $OP = \frac{1}{2}CD$ .

Por Semejanza de Triángulos, el triángulo AEQ es semejante a AOP porque comparten el ángulo  y el recto. De esta forma, mediante el Teorema de Tales:

$\frac{AO}{AE} = \frac{OP}{EQ}$

$\frac{\frac{5}{6}AD}{\frac{1}{3}AD} = \frac{\frac{1}{2}CD}{EQ}$

$EQ = \frac{1}{5}CD$

Área de AEQ = $\frac{AE \cdot EQ}{2} = \frac{\frac{1}{3}AD \cdot \frac{1}{5}CD}{2} = \frac{1}{30} \cdot AD \cdot CD$

Área de ABCD = $AD \cdot CD$

Proporción entre áreas = $\frac{\text{Área de AEQ}}{\text{Área de ABCD}} = \frac{\frac{1}{30} \cdot AD \cdot CD}{AD \cdot CD} = \frac{1}{30}$

SOLUCIÓN: El área sombreada ocupa 1/30 del área del rectángulo ABCD.

Solución de Darío Otero.

Durante el curso ha realizado x exámenes hasta ahora y la suma de las notas es S, luego la media se calculará como $\frac{S}{x}$ .

En el primer caso, si se aumenta en 1,7 la suma de las notas (S) y en 1 el número de exámenes (x), la media es de 8: $\frac{S + 1,7}{x + 1} = 8$ .

En el segundo caso, si se aumenta en un 9,2 la suma de las notas (S) y en 1 el número de exámenes (x), la media es de 8,5: $\frac{S + 9,2}{x + 1} = 8,5$ .

Por tanto, se plantea el sistema de ecuaciones y se resuelve para x:

$\left\{\begin{matrix} \frac{S + 1,7}{x + 1} = 8 \\ \frac{S + 9,2}{x + 1} = 8,5 \end{matrix}\right.$

(1) $S = 8x + 8 - 1,7 = 8x + 6,3$

(2) $8x + 6,3 + 9,2 = 8,5x + 8,5$ → $0,5x = 7$ → $x = 14$

Como x hacía referencia a los exámenes hasta ahora, contando el último habrá hecho $14 + 1 = 15$ exámenes.

SOLUCIÓN: Hizo 15 exámenes en total.

Solución de Darío Otero.

a) ¿Cómo deben cruzar en el menor número de viajes?

Datos clave:

Cada alumno pesa 50 kg.

Cada profesor pesa 100 kg.

La barca soporta como máximo 100 kg, por lo tanto:

Solo puede ir 1 profesor o 2 alumnos como máximo.

Cada viaje cuenta, incluso de regreso.

Objetivo: transportar 2025 personas (alumnos + profesores) en al menos 4235 viajes.

Estrategia óptima:

Lo más eficiente es transportar siempre 2 alumnos, ida y vuelta (1 alumno regresa para seguir llevando compañeros).

Solo se transporta a profesores de uno en uno, y necesita que un alumno regrese con la barca.

El transporte de profesores es más costoso en viajes.

b) Cálculo del número de profesores y alumnos:

Supongamos que hay $p$ profesores y $a$ alumnos, tal que:

$p+a=2025$

Cada tipo de cruce requiere:

Para 2 alumnos:

1 viaje de ida + 1 de vuelta (el que regresa): 2 viajes por cada par menos 1 regreso final.

Para 1 profesor:

1 viaje de ida con profesor + 1 de vuelta del alumno: 2 viajes por profesor.

Total de viajes:

1. Para los profesores: $2p$ viajes.

2. Para los alumnos:

Para llevar a $a$ alumnos, se hacen $a-1$ pares con regreso → $2(a-1)$ viajes.

El último par no necesita regreso, así que se resta 1 viaje.

Total:

$2p+2(a-1)=2p+2a-2$

Dado que el total es 4235 viajes, se tiene:

$2p+2a-2=4235\Rightarrow 2(p+a)=4237\Rightarrow p+a=2118.5$

¡Contradicción! Porque deben ser enteros y sabemos que $p+a=2025$ .

Otra forma:

Probemos con esta ecuación basada en viajes mínimos:

$\text{Viajes} = 2a - 2 + 2p = 2(a + p) - 2 = 2 \cdot 2025 - 2 = 4048 \text{ viajes}$

Pero nos dicen que se requieren como mínimo 4235 viajes, así que algo falla.

Eso significa que no siempre pueden ir 2 alumnos, porque falta gente para que regresen.

Supongamos que en algún momento, los que regresan son profesores porque ya no hay suficientes alumnos del otro lado. Esto encarece el total de viajes.

La clave está en probar posibles valores de $p$ y $a$ que cumplan:

$a+p=2025 \\ \text{Viajes totales}=2a-2+2p=2(a+p)-2=4050-2=4048$

Pero nos piden un mínimo de 4235 viajes, lo cual indica que hay más profesores (que requieren más viajes).

Busquemos el valor de $p$ tal que:

$2a-2+2p=4235\Rightarrow 2(2025-p)-2+2p=4235 \\ 4050-2p-2+2p=4235\Rightarrow 4048=4235$

¡No cuadra! Entonces hay algo adicional.

La clave es que la barca regresa vacía al final o hay movimientos ineficientes si hay pocos alumnos.

Probando valores pequeños:

Supongamos $p=675\Rightarrow a=1350$

$\text{Viajes}=2a-2+2p=2\cdot 1350-2+2\cdot 675=2700-2+1350=4048 \text{ viajes}$

Subamos profesores:

$p=705,a=1320$

$\text{Viajes} = 2 \cdot 1320 - 2 + 2 \cdot 705 = 2640 - 2 + 1410 = 4048$ ¡Siempre da 4048!

Conclusión: el enunciado debe tener un error, o está considerando un método ineficiente. Si se necesitan 4235 viajes, entonces han regresado la barca más veces de las óptimas.

Probemos con:

$2a + 2p + r = 4235 \Rightarrow 2(2025) + r = 4235 \Rightarrow 4050 + r = 4235 \Rightarrow r = 185$

Entonces hay 185 viajes extra, que ocurren porque en algunos casos no pueden ir 2 alumnos.

Ahora probando hasta que cuadre:

Tomando como solución oficial:

Calificación obtenida (apartado 1). Datos: 3 (lectura e interpretación correctas), Razonamiento: 2 (va bien encaminado, pero le falta especificar quién tiene que cruzar antes), Explicación: 3 (se entiende bien) y Solución: 2 (le falta el matiz de quiénes cruzan antes). Nota del apartado: 7,50.

Calificación obtenida (apartado 2). Datos: 3 (lectura e interpretación correctas), Razonamiento: 1 (es decente hasta que replantea el problema y pierde todo el sentido), Explicación: 2 (podría explicarse mejor porque a veces cuesta entenderlo) y Solución: 0 (errónea). Nota del apartado: 4,17.

Nota del problema (media aritmética): 6,00.

PROBLEMA 2: Área sombreada en el cuadrado

Se nos da una figura en un cuadrado dividido en 4 regiones triangulares, todas conectadas desde un punto dentro del cuadrado.

Las áreas indicadas son:

18 cm²

9 cm²

7 cm²

Área sombreada = ?

El área total del cuadrado es:

$A=18+9+7+x=34+x$

Pero como es un cuadrado dividido completamente, el área total es igual a la suma de todas las áreas.

Entonces:

$x=\text{Área total}-(18+9+7)=A-34$

La clave es que A = 18 + 9 + 7 + x, entonces:

$x=A-34\Rightarrow A=x+34\Rightarrow x=x+34-34\Rightarrow x=x$

Pero mejor simplemente:

Área total = suma de áreas = $x+34$ . Pero también es el área del cuadrado.

Como se cubre todo el cuadrado, entonces:

PROBLEMA 3: Fracción del rectángulo ocupada por el triángulo sombreado

Datos:

Rectángulo ABCD dividido en 3 partes iguales verticalmente.

Rectángulo CDFG es 1/3 del total.

El segmento MN lo divide en dos áreas iguales.

Se nos pide hallar qué fracción del total ocupa el triángulo AEM (sombreado).

Paso 1: Área total

Dividido en 3 partes → triángulo está dentro de 1/3 del rectángulo.

El triángulo está sobre una franja que es 1/3 de la base total.

Paso 2: ¿Qué parte ocupa el triángulo?

Observamos:

Triángulo AEM está en el primer tercio.

AE es la altura (de arriba abajo).

AM corta la diagonal hacia la tercera división.

Por simetría y al estar dividido en 3 partes:

AE es 1/3 de la base.

Altura completa.

Triángulo con base AE y altura igual a altura del rectángulo → su área es:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot h \cdot h = \frac{1}{6} \cdot h^2$

Área total del rectángulo = base $\cdot$ altura = $h\cdot 3h=3h^2$

Entonces:

PROBLEMA 4: Nota media de Cal-Culín

Datos:

Si saca 1.7, la media es 8.0

Si saca 9.2, la media es 8.5

¿Cuántos exámenes ha hecho?

Llamamos:

$n$ : número de exámenes antes del último.

$x$ : nota total acumulada antes del último.

Entonces:

Con 1.7:

$\frac{x + 1.7}{n + 1} = 8.0 \Rightarrow x + 1.7 = 8(n + 1) = 8n + 8 \Rightarrow x = 8n + 8 - 1.7 = 8n + 6.3$

Con 9.2:

$\frac{x + 9.2}{n + 1} = 8.5 \Rightarrow x + 9.2 = 8.5(n + 1) = 8.5n + 8.5 \Rightarrow x = 8.5n + 8.5 - 9.2 = 8.5n - 0.7$

Igualamos (1) y (2):

$8n + 6.3 = 8.5n - 0.7 \Rightarrow 6.3 + 0.7 = 8.5n - 8n \Rightarrow 7 = 0.5n \Rightarrow n = 14$

Entonces, hizo:

Análisis del problema

La barca puede llevar:

- 2 alumnos ( $2 \times 50 = 100$ kg) o

- 1 profesor ( $1 \times 100 = 100$ kg)

a) Estrategia óptima para cruzar

Para minimizar el número de viajes, necesitamos analizar cómo organizar los cruces:

1. Caso óptimo: Si todos fueran alumnos, necesitaríamos $2025/2 = 1012.5 \approx 1013$ viajes de ida, más los viajes de vuelta para que alguien conduzca la barca.

2. Estrategia real:

- Para cada profesor: 1 viaje de ida

- Para cada par de alumnos: 1 viaje de ida

- Necesitamos que alguien regrese con la barca (excepto en el último viaje)

Si tenemos P profesores y A alumnos:

- $P + A = 2025$

- Viajes de ida: $P + \lceil A/2 \rceil$

- Viajes de vuelta: $P + \lceil A/2 \rceil - 1$

- Total de viajes: $2(P + \lceil A/2 \rceil) - 1$

b) Cálculo del número de profesores y alumnos

Dado que el número mínimo de viajes es 4235:

$2(P + \lceil A/2 \rceil) - 1 = 4235$

$2(P + \lceil A/2 \rceil) = 4236$

$P + \lceil A/2 \rceil = 2118$

Como $P + A = 2025$ , tenemos $A = 2025 - P$

Sustituyendo:

$P + \lceil (2025 - P)/2 \rceil = 2118$

Si A es par: $P + (2025 - P)/2 = 2118$

$P + 1012.5 - P/2 = 2118$

$P/2 = 2118 - 1012.5 = 1105.5$

Esto no da un entero, por lo que A debe ser impar.

Si A es impar: $P + (2025 - P + 1)/2 = 2118$

$P + (2026 - P)/2 = 2118$

$P + 1013 - P/2 = 2118$

$P/2 = 2118 - 1013 = 1105$

$P = 2210$

Pero esto es imposible ya que $P > 2025$ .

Revisando: Si A es impar, $\lceil A/2 \rceil = (A+1)/2$

$P + (A+1)/2 = 2118$

$P + A/2 + 1/2 = 2118$

$P + A/2 = 2117.5$

Como $P + A = 2025$ :

$A/2 = 2117.5 - P$

$A = 4235 - 2P$

Sustituyendo en $P + A = 2025$ :

$P + 4235 - 2P = 2025$

$-P = 2025 - 4235 = -2210$

$P = 2210$

Esto sigue siendo imposible. Replanteemos el problema.

La clave está en que necesitamos exactamente 4235 viajes. Si consideramos que en el último viaje no hay retorno:

Total de viajes = $2 \times$ (número de viajes de ida) $- 1 = 4235$

Número de viajes de ida = 2118

Si hay P profesores y A alumnos:

- Viajes de ida = $P + \lceil A/2 \rceil = 2118$

- $P + A = 2025$

Por tanto: $A = 2025 - P$

$\lceil (2025 - P)/2 \rceil = 2118 - P$

Probando con diferentes valores y considerando que A debe ser impar para que se cumpla exactamente:

Si $A = 185$ (impar), entonces $P = 2025 - 185 = 1840$

Verificando: $1840 + \lceil 185/2 \rceil = 1840 + 93 = 1933 \neq 2118$

Tras análisis más detallado:
P = 211 profesores y A = 1814 alumnos

Verificación: $211 + \lceil 1814/2 \rceil = 211 + 907 = 2118$ ✓

Calificación obtenida (apartado 1). Datos: 3 (lectura e interpretación correctas), Razonamiento: 1 (razona cuántos viajes hay, no cómo realizarlos, por lo que no cumple el propósito del problema), Explicación: 3 (se entiende bien) y Solución: 0 (errónea). Nota del apartado: 3,83.

Calificación obtenida (apartado 2). Datos: 3 (lectura e interpretación correctas), Razonamiento: 1 (es decente hasta que replantea el problema y pierde todo el sentido), Explicación: 2 (podría explicarse mejor porque a veces cuesta entenderlo) y Solución: 0 (errónea). Nota del apartado: 4,17.

Nota del problema (media aritmética): 4,00.

Análisis geométrico

El cuadrado se divide en 4 triángulos cuando conectamos un punto interior con los puntos medios de los lados. La suma de áreas opuestas en esta configuración es constante.

Por la propiedad de simetría en cuadrados con punto interior:

- Área1 + Área3 = Área2 + Área4 (áreas opuestas)

- Área sombreada + 9 = 18 + 7

- Área sombreada = 18 + 7 - 9 = 16 cm²

Razonamiento paso a paso

1. Establecimiento de coordenadas: Sea el rectángulo ABCD con área total = 3 unidades (ya que se divide en 3 regiones iguales).

2. Análisis de la división:

- ABCD está dividido en 3 partes iguales por las líneas verticales

- Cada parte tiene área = 1 unidad

- CDFG es la parte derecha con área = 1 unidad

3. Condición de MN: MN divide CDFG en dos partes iguales, cada una con área = 1/2 unidad.

4. Identificación del triángulo sombreado: El triángulo sombreado parece estar en la esquina superior derecha.

5. Cálculo del área: Por la geometría del problema y las condiciones dadas, el triángulo sombreado tiene área = 1/6 del rectángulo total.

Planteamiento algebraico

Sea:

- n = número total de exámenes (incluyendo el último)

- S = suma de las notas de los primeros (n-1) exámenes

Ecuación 1: $(S + 1,7)/n = 8$

Por tanto: $S + 1,7 = 8n$

$S = 8n - 1,7$

Ecuación 2: $(S + 9,2)/n = 8,5$

Por tanto: $S + 9,2 = 8,5n$

$S = 8,5n - 9,2$

Resolución

Igualando las dos expresiones para S:

$8n - 1,7 = 8,5n - 9,2$

$8n - 8,5n = -9,2 + 1,7$

$-0,5n = -7,5$

$n = 15$

Verificación

Con $n = 15$ :

$S = 8(15) - 1,7 = 120 - 1,7 = 118,3$

Comprobando:

- $(118,3 + 1,7)/15 = 120/15 = 8$ ✓

- $(118,3 + 9,2)/15 = 127,5/15 = 8,5$ ✓

a) Explica cómo deben hacer para cruzar en el menor número de viajes:

Para minimizar el número de viajes, la barca debe llevar la máxima carga posible en cada trayecto. Las opciones son:

- 2 alumnos: 2 × 50 kg = 100 kg (máxima capacidad)

- 1 profesor: 1 × 100 kg = 100 kg

La estrategia óptima es:

1. Viaje de ida: Siempre que sea posible, 2 alumnos cruzan el río.

2. Viaje de vuelta: 1 alumno regresa la barca.

Este proceso se repite hasta que queden pocos alumnos/profesores. Los profesores cruzan solos cuando sea necesario.

b) Halla el número de profesores y el de alumnos:

Sean P = número de profesores, A = número de alumnos. Sabemos:

1. $P + A = 2025$

2. El peso neto transferido es: $100P + 50A = (2118 \times 100) - (2117 \times 50) = 105950$

Resolviendo el sistema:

De la ecuación 1: $P = 2025 - A$

Sustituyendo en la ecuación 2:

$100(2025 - A) + 50A = 105950$

$202500 - 100A + 50A = 105950$

$-50A = -96550$

$A = 1931$

Entonces $P = 2025 - 1931 = 94$

Respuesta: 94 profesores y 1931 alumnos.

Calificación obtenida (apartado 1). Datos: 3 (lectura e interpretación correctas), Razonamiento: 2 (falta introducir a los profesores en el razonamiento más que al final), Explicación: 3 (se entiende correctamente) y Solución: 2 (le falta el matiz de los profesores). Nota del apartado: 7,50.

Calificación obtenida (apartado 2). Datos: 3 (lectura e interpretación correctas), Razonamiento: 3 (correcto), Explicación: 1 (explicación incompleta, aunque se puedan abstraer algunos conceptos) y Solución: 2 (se aproxima mucho a la correcta, hay algún error de cálculo). Nota del apartado: 8,83.

Nota del problema (media aritmética): 8,17.

Razonamiento:

Al unir un punto interior a los vértices del cuadrado, se forman 4 triángulos. Una propiedad clave es que la suma de las áreas de dos triángulos opuestos es igual a la mitad del área total del cuadrado.

Dadas las áreas:

- Región 1: 2 cm²

- Región 2: 16 cm²

- Región 3: 9 cm²

- Región sombreada: ?

Observamos que:

$\text{Área sombreada} + 9 = 2 + 16$

$\text{Área sombreada} = 18 - 9 = 9\,\text{cm}^2$

Respuesta: El área sombreada es 9 cm².

Razonamiento:

El rectángulo ABCD está dividido en 3 regiones iguales (ABHE, EHFG, FGCD). Sea:

- Ancho de cada subrectángulo: w

- Altura: h

El segmento MN divide FGCD en dos áreas iguales, por lo que debe pasar por su centro en (2.5w, 0.5h).

La línea AN tiene ecuación:

$y = -\frac{h}{5w}x + h$

El punto K (intersección con EH) tiene coordenadas:

$x = w \Rightarrow y = -\frac{h}{5} + h = \frac{4h}{5}$

Área del triángulo sombreado AEK:

$\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times w \times \frac{h}{5} = \frac{wh}{10}$

Área total de ABCD: $3wh$

Fracción sombreada: $\frac{wh/10}{3wh} = \frac{1}{30}$

Respuesta: La fracción sombreada es $\frac{1}{30}$ del área total.

Razonamiento:

Sea N = número total de exámenes, S = suma de notas antes del último examen.

Escenario 1: Si saca 1.7 en el último examen, media = 8

$\frac{S + 1.7}{N} = 8 \Rightarrow S = 8N - 1.7$

Escenario 2: Si saca 9.2 en el último examen, media = 8.5

$\frac{S + 9.2}{N} = 8.5$

Sustituyendo S:

$8.5N = (8N - 1.7) + 9.2$

$8.5N = 8N + 7.5$

$0.5N = 7.5 \Rightarrow N = 15$

Verificación:

$S = 8 \times 15 - 1.7 = 118.3$

Media con 9.2: $\frac{118.3 + 9.2}{15} = 8.5$

Respuesta: Cal-Culín hizo 15 exámenes.

a) Explicación para cruzar en el menor número de viajes:

Para minimizar el número de viajes, debemos optimizar el peso transportado en cada viaje. Dado que los profesores pesan 100 kg cada uno y la barca no puede llevar más de 100 kg, cada profesor debe cruzar solo. Los alumnos pesan 50 kg cada uno, por lo que pueden cruzar de dos en dos (50 kg + 50 kg = 100 kg).

Sin embargo, la barca necesita ser devuelta después de cada viaje de ida (excepto el último), lo que aumenta el número de viajes. La estrategia óptima es:

1. Hacer que dos alumnos crucen juntos (ida).
2. Uno de los alumnos regresa (vuelta).
3. Repetir este proceso hasta que todos los alumnos hayan cruzado.
4. Los profesores cruzan uno por uno sin necesidad de retorno, ya que no hay más personas en el origen después de su viaje.

b) Cálculo del número de profesores y alumnos:

Sea $P$ el número de profesores y $A$ el número de alumnos. Sabemos que:

Cada viaje de un profesor requiere 1 viaje (solo ida), mientras que cada par de alumnos requiere 3 viajes (ida de dos alumnos, vuelta de uno). Sin embargo, el último viaje de alumnos no requiere vuelta.

Supongamos que hay $k$ pares de alumnos. El número total de viajes sería:

(El término $3(k - 1)$ corresponde a los pares completos, el $+2$ es el último viaje de alumnos sin vuelta, y $P$ es el viaje de cada profesor).

Simplificando:

Como $A = 2k$ (número de alumnos es par para formar pares completos), y $P = 2025 - A = 2025 - 2k$ , sustituimos:

Entonces:

Esto no tiene sentido, lo que indica un error en la suposición. Revisamos el cálculo de viajes: cada par de alumnos requiere 2 viajes (ida y vuelta), excepto el último par que solo requiere ida. Los profesores requieren 1 viaje cada uno. Así:

Sustituyendo $P = 2025 - 2k$ :

Contradicción nuevamente. El problema probablemente asume que los alumnos cruzan de uno en uno, alternando con profesores. Supongamos que los alumnos cruzan solos (50 kg) y los profesores solos (100 kg). Cada viaje de alumno requiere 2 viajes (ida y vuelta), excepto el último. Cada profesor requiere 1 viaje.

Sea $A$ el número de alumnos y $P$ el de profesores. El número de viajes sería:

(El $-1$ es porque el último viaje no requiere vuelta).

Con $A + P = 2025$ , sustituimos $P = 2025 - A$ :

Otra contradicción. El enunciado parece tener inconsistencias. Revisando, posiblemente el número de viajes incluye ida y vuelta para todos, pero aún así no cuadra. Se necesita más información o corrección en el enunciado.

Calificación obtenida (apartado 1). Datos: 3 (lectura e interpretación correctas), Razonamiento: 2 (va encaminado, pero le faltan dos matices: especificar quién va primero y que los profesores no deben volver), Explicación: 3 (se entiende bien) y Solución: 2 (le faltan los dos matices del razonamiento para estar del todo correcta). Nota del apartado 1: 7,50.

Calificación obtenida (apartado 2). Datos: 3 (lectura e interpretación correctas), Razonamiento: 0 (no tiene sentido: inventa ecuaciones y llega a que el enunciado es erróneo), Explicación: 2 (a veces se entiende, pero podría estar mejor) y Solución: 0 (completamente errónea). Nota del apartado 2: 2,17

Nota del problema (media aritmética): 4,83.

Datos:

• Áreas mostradas: 7 cm², 18 cm², 9 cm².
• Punto unido a los puntos medios de los lados del cuadrado.

Solución:

Supongamos que el cuadrado tiene lado $L$ . Los puntos medios dividen el cuadrado en 4 cuadrantes. El punto interior está conectado a los 4 puntos medios, creando 4 triángulos y una región central.

Las áreas de los triángulos son proporcionales a las distancias del punto a los lados. Sumando las áreas conocidas:

El área total del cuadrado es $L^2$ . La región sombreada es la suma de las áreas de los triángulos menos el área central. Suponiendo que la región sombreada es la suma de las áreas dadas:

Pero esto excede el área de un cuadrado razonable. Reinterpretando, las áreas pueden corresponder a partes específicas. Si el cuadrado tiene área $S$ , y las regiones sombreadas son 7, 18, y 9, entonces:

Sin más información, asumimos que la región sombreada es $7 + 18 + 9 = 34 \text{ cm²}$ .

Datos:

• Rectángulo $ABCD$ dividido en 3 regiones iguales.
• Segmento $MN$ divide al rectángulo $CDFG$ en dos trozos de igual área.
• ¿Qué fracción del área del rectángulo $ABCD$ está ocupada por el triángulo sombrado?

Solución:

Dividimos $ABCD$ en 3 partes iguales. Si el área total es $A$ , cada región tiene área $A/3$ .

$CDFG$ es una de estas regiones, con área $A/3$ .

$MN$ divide $CDFG$ en dos partes de área $A/6$ cada una.

El triángulo sombreado está dentro de una de estas mitades. Suponiendo que es un triángulo con base y altura proporcionales, su área sería la mitad de $A/6$ , es decir, $A/12$ .

La fracción del área total es:

Datos:

• Si la última nota es 1.7, la media es 8.
• Si la última nota es 9.2, la media es 8.5.
• ¿Cuántos exámenes hizo en este caso?

Solución:

Sea $S$ la suma de las notas de los primeros $n - 1$ exámenes. Entonces:

Restamos la primera ecuación de la segunda:

Respuesta: Cal-Culín hizo 15 exámenes.

Enunciado:

Los profesores y alumnos de un instituto son en total 2025 personas (con más alumnos que profesores). En una excursión, deben atravesar un río usando una sola barca que no puede llevar más de 100 kilos. Cada alumno pesa 60 kilos y cada profesor 100 kilos. Se necesitan al menos 4235 viajes para que todos crucen. (Cada vez que la barca va de un lado a otro es un viaje, es decir, una ida y vuelta son dos viajes).

a) Explica cómo deben hacer para cruzar en el menor número de viajes.

b) Halla el número de profesores y el de alumnos.

Nota: No valen trampas del tipo “empujar a la barca para que cruce sola”.

Razonamiento:

Paso 1: Entender las restricciones

- La barca tiene una capacidad máxima de 100 kilos.

- Peso de cada alumno: 60 kg; peso de cada profesor: 100 kg.

- Posibles cargas por viaje:

  - Un profesor: 100 kg ≤ 100 kg (sí cabe).

  - Un alumno: 60 kg ≤ 100 kg (sí cabe).

  - Dos alumnos: 60 + 60 = 120 kg > 100 kg (no cabe).

  - Un profesor y un alumno: 100 + 60 = 160 kg > 100 kg (no cabe).

Por lo tanto, la barca solo puede llevar una persona por viaje (ya sea un profesor o un alumno).

- Cada “viaje” es un cruce de un lado del río al otro, y la nota indica que la barca no puede cruzar sola, lo que implica que cada viaje debe llevar al menos una persona.

- Total de personas: 2025 (profesores + alumnos).

- Objetivo: todos deben llegar al otro lado del río (lado B) desde el lado inicial (lado A) en el menor número de viajes posible, y el problema menciona que se necesitan “como mínimo 4235 viajes”.

Paso 2: Estrategia inicial para cruzar a todos

Imaginemos que todas las 2025 personas están en el lado A y queremos que todas lleguen al lado B, con la barca terminando en B (ya que es una excursión y todos deben continuar). Si cada persona cruza en un viaje:

- Persona 1 cruza de A a B (viaje 1, barca en B).

- Pero para que la persona 2 cruce, la barca debe volver a A. Como no puede cruzar sola, alguien debe traerla de vuelta. Entonces:

- Persona 1 regresa de B a A (viaje 2, barca en A).

- Persona 2 cruza de A a B (viaje 3, barca en B).

- Persona 2 regresa de B a A (viaje 4, barca en A).

- Y así sucesivamente.

Paso 3: Encontrar el patrón

- n=1: 1 viaje (P1 → B).

- n=2: 5 viajes (como arriba).

- n=3: 11 viajes.

Secuencia: 1,5,11,… diferencias: 4,6,8,… parece f(n)=n²+n-1.

- n=1: 1+1-1=1.

- n=2: 4+2-1=5.

- n=3: 9+3-1=11.

- n=4: 16+4-1=19 (coherente).

Paso 4: Estrategia eficiente con profesores como barqueros

- Total personas = p (profesores) + a (alumnos) = 2025, a > p.

- Primero, cruza los p profesores a B en f(p)=p²+p-1 viajes.

- Luego, usa los p profesores en B para trasladar a los a alumnos:

  - Un profesor en B lleva la barca a A (viaje).

  - Un alumno en A cruza a B (viaje).

  - Por cada alumno: 2 viajes.

  - Total para a alumnos: 2a viajes.

- Viajes totales: p²+p-1+2a.

- Dado p+a=2025, a=2025-p.

- Entonces: p²+p-1+2(2025-p)=p²+p-1+4050-2p=p²-p+4049.

- El problema dice “mínimo 4235 viajes”, así que:

p²-p+4049≥4235

p²-p≥4235-4049=186

p²-p-186=0

- Resolviendo: p=[1±√(1+4×186)]/2=[1±√745]/2, √745≈27.29, p≈14.145 o p≈-13.145 (descartado).

- p=14: 14²-14=196-14=182, 182+4049=4231.

- p=15: 15²-15=225-15=210, 210+4049=4259.

- 4231<4235<4259, el valor más cercano por debajo es 4231 con p=14.

Paso 5: Respuesta

- a) Para cruzar en el menor número de viajes, primero se trasladan los 14 profesores a B en 14²+14-1=209 viajes. Luego, estos profesores trasladan a los 2011 alumnos: un profesor lleva la barca a A, un alumno cruza a B (2 viajes por alumno), total 2×2011=4022 viajes. Total: 209+4022=4231 viajes (nota: el enunciado dice 4235, posible error tipográfico).

- b) Profesores = 14, alumnos = 2025-14=2011.

Calificación obtenida (apartado 1). Datos: 1 (dice que los alumnos pesan 60 kg), Razonamiento: 0 (no tiene sentido: según su razonamiento, las personas irían y volverían todo el rato), Explicación: 2 (se entiende bastante bien, salvo algún matiz) y Solución: 0 (completamente errónea). Nota del apartado: 1,17.

Calificación obtenida (apartado 2). Datos: 1 (dice que los alumnos pesan 60 kg), Razonamiento: 0 (no tiene sentido: según su razonamiento, las personas irían y volverían todo el rato), Explicación: 2 (se entiende bastante bien, salvo algún matiz) y Solución: 0 (completamente errónea). Nota del apartado: 1,17.

Nota del problema (media aritmética): 1,17.

Enunciado:

En un cuadrado hemos señalado un punto y lo hemos unido con los puntos medios de los lados del cuadrado. Halla el área de la región sombreada.

Razonamiento:

Paso 1: Interpretación sin figura

- No tengo la figura, pero supongamos un cuadrado ABCD de lado L, con un punto P interior (común en este tipo de problemas) unido a los puntos medios de los lados: M (medio de AB), N (medio de BC), O (medio de CD), Q (medio de DA).

- Coordenadas: A(0,0), B(0,L), C(L,L), D(L,0).

- Puntos medios: M(0,L/2), N(L/2,L), O(L,L/2), Q(L/2,0).

- La región sombreada podría ser el cuadrilátero MNOQ formado por estas uniones.

Paso 2: Área de MNOQ

- Divide el cuadrado en 4 triángulos desde P(x,y) a los vértices y calcula si MNOQ es un área específica.

- Pero más simple: MNOQ es un cuadrado (lados perpendiculares de longitud L/√2/2 tras cálculos geométricos), área = (L/2)²=L²/4.

- Área cuadrado ABCD = L², fracción = 1/4.

Solución:

El área de la región sombreada es 1/4 del área del cuadrado.

Enunciado:

El rectángulo ABCD de la figura está dividido en 4 regiones iguales. Si el segmento MN divide a la región sombreada en dos trozos de igual área, ¿qué fracción del área del rectángulo ABCD está ocupada por el triángulo sombreado?

Razonamiento:

Paso 1: Analizar la figura

- Rectángulo ABCD, base BC, altura AB.

- Dividido en 4 regiones verticales iguales por EH, FG: ancho de cada región = BC/4.

- Triángulo sombreado AEN: A(top-left), E(DA en 1/4), N(CD).

- MN divide AEN en dos áreas iguales, M en EN, N en CD.

Paso 2: Dimensiones y área

- Base BC=4w, altura AB=h, área ABCD=4wh.

- E en x=w, A en x=0, y=h.

- N en (4w,y), 0<y<h.

- Área AEN: base AN, altura desde E perpendicular a AN. Más fácil: coordenadas A(0,h), E(w,h), N(4w,y), área = |w(y-h)|/2=wh(1-y/h)/2.

Paso 3: Segmento MN

- MN desde M en EN a N, divide AEN en dos.

- Trapecio AEMN y triángulo MNE, igual área.

- Simplificando con y/h=t, área AEN=wh(1-t)/2, fracción = (1-t)/8.

- Condición de igualdad lleva a t=1/3 (tras cálculos geométricos).

- Fracción = (1-1/3)/8=2/3/8=1/12.

Solución:

La fracción es 1/12.

Enunciado:

Antes del último examen, Cal-Culín pensó que si sacaba un 1,7, la nota media sería 8; si sacaba un 9,2, la media sería 8,5. ¿Cuántos exámenes hizo?

Razonamiento:

Paso 1: Ecuaciones

- n exámenes, suma de notas S hasta el último.

- (S+1,7)/(n+1)=8 → S+1,7=8n+8 → S=8n+6,3.

- (S+9,2)/(n+1)=8,5 → S+9,2=8,5n+8,5 → S=8,5n-0,7.

Paso 2: Resolver

- 8n+6,3=8,5n-0,7

- 6,3+0,7=8,5n-8n

- 7=0,5n

- n=14.

- Total exámenes: 14+1=15.

Solución:

Hizo 15 exámenes.

a) Explicación de cómo cruzar el río en el menor número de viajes:

Para minimizar el número de viajes, debemos optimizar el transporte de personas en la barca. Dado que la barca no puede llevar más de 100 kg, las combinaciones posibles son:

- Un profesor (100 kg)

- Dos alumnos (2 x 50 kg = 100 kg)

La estrategia es la siguiente:

1. Dos alumnos cruzan el río.

2. Un alumno regresa.

3. Dos alumnos cruzan de nuevo.

4. Un alumno regresa.

Este ciclo se repite hasta que todos hayan cruzado el río. Cada ciclo consta de 4 viajes (ida y vuelta de dos alumnos y regreso de uno).

b) Número de profesores y alumnos:

Sea p el número de profesores y a el número de alumnos. Sabemos que:

1. p + a = 2025

2. Cada viaje de dos alumnos transporta efectivamente a un alumno al otro lado (ya que uno debe regresar).

Para transportar a todos los alumnos, se necesitan a viajes efectivos. Cada ciclo de 4 viajes transporta efectivamente a un alumno. Por lo tanto, el número total de viajes es aproximadamente 4a.

Dado que se necesitan 4235 viajes, tenemos:

4a ≈ 4235

a ≈ 4235/4 ≈ 1058.75

Como el número de alumnos debe ser un entero, redondeamos a 1059. Por lo tanto:

a = 1059

p = 2025 - 1059 = 966

Calificación obtenida (apartado 1). Datos: 3 (lectura e interpretación correctas), Razonamiento: 1 (no menciona a los profesores en ningún momento del razonamiento), Explicación: 3 (se entiende bien) y Solución: 0 (errónea). Nota del apartado: 4,50.

Calificación obtenida (apartado 2). Datos: 3 (lectura e interpretación correctas), Razonamiento: 1 (correcto con los alumnos, pero no menciona en ningún momento a los profesores. La ecuación planteada con los alumnos es correcta), Explicación: 3 (se entiende bien) y Solución: 0 (completamente errónea). Nota del apartado: 4,50.

Nota del problema (media aritmética): 4,50.

Área de la región sombreada:

Para resolver este problema, necesitamos entender la geometría del cuadrado y las áreas dadas. Observamos que el cuadrado está dividido en varias regiones con áreas de 7 cm², 9 cm² y 18 cm².

El área total del cuadrado es la suma de las áreas de las regiones:

7 + 9 + 18 + Área de la región sombreada = Área total del cuadrado

Primero, calculamos el área total del cuadrado. Supongamos que el lado del cuadrado es L. Entonces:

L^2 = 7 + 9 + 18 + Área de la región sombreada

Para encontrar el área de la región sombreada, necesitamos más información sobre cómo están dispuestas las regiones dentro del cuadrado. Sin embargo, podemos suponer que el área de la región sombreada es la diferencia entre el área total del cuadrado y las áreas conocidas.

Si asumimos que el área total del cuadrado es la suma de las áreas dadas más el área sombreada, y que el área sombreada es igual a la suma de las áreas conocidas (por simetría o distribución), entonces:

Área de la región sombreada = 7 + 9 + 18 = 34 cm^2

Fracción del área del rectángulo ABCD ocupada por el triángulo sombreado:

Para resolver este problema, necesitamos entender la geometría del rectángulo y las divisiones dadas. El rectángulo ABCD está dividido en 3 regiones iguales, y el segmento MN divide al rectángulo CDFG en dos trozos de igual área.

Primero, calculamos el área total del rectángulo ABCD. Supongamos que el área total del rectángulo es A. Entonces, cada una de las 3 regiones iguales tiene un área de A/3.

El segmento MN divide al rectángulo CDFG en dos trozos de igual área, por lo que cada trozo tiene un área de A/6.

El triángulo sombreado está dentro de una de estas regiones. Para encontrar la fracción del área del rectángulo ABCD ocupada por el triángulo sombreado, necesitamos más información sobre la geometría específica del triángulo. Sin embargo, podemos suponer que el triángulo sombreado ocupa una fracción significativa de una de las regiones.

Si asumimos que el triángulo sombreado ocupa la mitad de una de las regiones, entonces:

Fracción del área del rectángulo ABCD ocupada por el triángulo sombreado = 1/2 × 1/3 = 1/6

Número de exámenes realizados por Cal-Culín:

Sea n el número de exámenes realizados por Cal-Culín antes del último examen. Sea S la suma de las notas de los n exámenes.

Si Cal-Culín saca un 1.7 en el último examen, la nota media sería:

(S + 1.7)/(n + 1) = 8

Si Cal-Culín saca un 9.2 en el último examen, la nota media sería:

(S + 9.2)/(n + 1) = 8.5

Tenemos dos ecuaciones:

1. S + 1.7 = 8(n + 1)

2. S + 9.2 = 8.5(n + 1)

Restando la primera ecuación de la segunda, obtenemos:

(S + 9.2) - (S + 1.7) = 8.5(n + 1) - 8(n + 1)

7.5 = 0.5(n + 1)

n + 1 = 15

n = 14

Por lo tanto, Cal-Culín realizó 14 exámenes antes del último examen, lo que hace un total de 15 exámenes en el curso.

Para resolver el problema, primero debemos establecer algunas variables. Sea $a$ el número de alumnos y $p$ el número de profesores. Según el enunciado, tenemos las siguientes ecuaciones:

1. $a + p = 2025$ (total de personas)

2. El peso total de los alumnos y profesores debe ser considerado para los viajes en la barca. Cada alumno pesa 50 kg y cada profesor 100 kg. Por lo tanto, el peso total es $50a + 100p$ .

Dado que la barca puede llevar un máximo de 100 kg, podemos determinar cuántas personas pueden cruzar en un solo viaje. En el mejor de los casos, la barca puede llevar a 2 alumnos (100 kg) o 1 profesor (100 kg).

Para minimizar el número de viajes, es más eficiente llevar a los alumnos en grupos de 2, ya que esto maximiza la capacidad de la barca. Sin embargo, dado que hay más alumnos que profesores, también debemos considerar cómo incluir a los profesores en los viajes.

Ahora, si consideramos que cada viaje de ida y vuelta cuenta como 2 viajes, y se necesitan al menos 4235 viajes, podemos establecer la relación:

$\frac{50a + 100p}{100} \text{ (número de viajes necesarios para cruzar a todos)}$

Dado que cada viaje de la barca puede llevar a 2 alumnos o 1 profesor, el número total de viajes necesarios se puede calcular. Si llevamos a 2 alumnos por viaje, el número de viajes necesarios para los alumnos es $\frac{a}{2}$ , y para los profesores es $p$ .

Por lo tanto, el total de viajes es:

$\text{Total de viajes} = \frac{a}{2} + p$

Dado que cada viaje de ida y vuelta cuenta como 2 viajes, multiplicamos por 2:

$2\left(\frac{a}{2} + p\right) = a + 2p$

Igualando esto a 4235, tenemos:

$a + 2p = 4235$

Ahora tenemos un sistema de ecuaciones:

1. $a + p = 2025$

2. $a + 2p = 4235$

Restando la primera ecuación de la segunda:

$(a + 2p) - (a + p) = 4235 - 2025$

$p = 2210$

Sustituyendo $p$ en la primera ecuación:

$a + 2210 = 2025 \implies a = 2025 - 2210 = -185$

Esto no tiene sentido, lo que indica que debemos revisar nuestros cálculos. En realidad, al resolver correctamente, se debe encontrar que:

1. $a + p = 2025$

2. $a + 2p = 4235$

Resolviendo correctamente, encontramos que:

$p = 2210 - 2025 = 185$

$a = 2025 - 185 = 1840$

Por lo tanto, el número de profesores es 185 y el número de alumnos es 1840.

Answer:

185 profesores y 1840 alumnos.

Calificación obtenida (apartado 1). Datos: 3 (lectura e interpretación correctas), Razonamiento: 2 (indica que hay que maximizar, minimizar… pero falta tener en cuenta a los profesores), Explicación: 3 (se entiende bien) y Solución: 2 (falta algún matiz, sobre todo especificar con los profesores). Nota del apartado: 7,50.

Calificación obtenida (apartado 2). Datos: 3 (lectura e interpretación correctas), Razonamiento: 1 (erróneo, se inventa las ecuaciones), Explicación: 2 (se podría entender mejor) y Solución: 0 (completamente errónea). Nota del apartado: 4,17.

Nota del problema (media aritmética): 5,83.

Para resolver el problema, primero necesitamos entender la configuración del cuadrado y el punto señalado. Supongamos que el cuadrado tiene un lado de longitud $a$ . Los puntos medios de los lados del cuadrado se encuentran a $\frac{a}{2}$ de cada vértice. Al unir el punto señalado con estos puntos medios, se forma una figura que incluye la región sombreada.

El área del cuadrado es $a^2$ . Para hallar el área de la región sombreada, debemos calcular el área de la figura formada por las líneas que conectan el punto señalado con los puntos medios y restar esta área del área total del cuadrado.

Sin embargo, el problema no proporciona el valor específico de $a$ ni la posición del punto señalado. Por lo tanto, no podemos calcular numéricamente el área de la región sombreada sin información adicional.

Dado que el problema menciona un área de $(180\pi)^2$ m’, esto sugiere que el área sombreada puede estar relacionada con un círculo o una figura circular, dado que $\pi$ es un componente clave en el cálculo de áreas circulares.

Por lo tanto, la respuesta a la pregunta sobre el área de la región sombreada es:

Answer:

$(180\pi)^2$ m’

¡Hola! Estoy aquí para ayudar con tu pregunta sobre el área del triángulo sombrado en el rectángulo ABCD. Vamos a desglosarlo paso a paso, ¡así será más divertido y fácil de entender!

Paso 1

El área del rectángulo ABCD es $A$ . Como el rectángulo está dividido en 3 regiones iguales, el área de cada región es $A/3$ .

Paso 2

La parte del rectángulo CDFG tiene un área de $2A/3$ . Como el segmento MN divide CDFG en dos áreas iguales, cada área resulta ser $(2A/3)/2 = A/3$ .

Paso 3

¡Aquí viene la parte interesante! El triángulo sombrado ocupa uno de los tres espacios iguales del rectángulo ABCD.

Paso 4

Por lo tanto, el triángulo sombrado ocupa un área de $A/3$ del área total $A$ .

Paso 5

Finalmente, la fracción del área del rectángulo ABCD ocupada por el triángulo sombrado es:

$\frac{(A/3)}{A} = \frac{1}{3}$

Respuesta:

La fracción del área ocupada por el triángulo sombrado en el rectángulo ABCD es $\frac{1}{3}$ .

Si tienes alguna otra pregunta o necesitas más aclaraciones, ¡no dudes en preguntar! Estoy aquí para ayudarte.

Sea $n$ el número de exámenes que Cal-Culín hizo antes del último examen. La nota media se calcula sumando todas las notas y dividiendo entre el número total de exámenes.

1. Si Cal-Culín saca un 1,7 en el último examen, la media sería:

$\frac{S + 1,7}{n + 1} = 8$

donde $S$ es la suma de las notas de los $n$ exámenes anteriores. Multiplicando ambos lados por $n + 1$ :

$S + 1,7 = 8(n + 1)$

$S + 1,7 = 8n + 8$

$S = 8n + 8 - 1,7$

$S = 8n + 6,3 \quad (1)$

2. Si Cal-Culín saca un 9,2 en el último examen, la media sería:

$\frac{S + 9,2}{n + 1} = 8,5$

Multiplicando ambos lados por $n + 1$ :

$S + 9,2 = 8,5(n + 1)$

$S + 9,2 = 8,5n + 8,5$

$S = 8,5n + 8,5 - 9,2$

$S = 8,5n - 0,7 \quad (2)$

3. Igualamos las dos expresiones de $S$ de (1) y (2):

$8n + 6,3 = 8,5n - 0,7$

Resolviendo para $n$ :

$6,3 + 0,7 = 8,5n - 8n$

$7 = 0,5n$

$n = \frac{7}{0,5} = 14$

Por lo tanto, Cal-Culín hizo 14 exámenes antes del último examen.

Answer:

14